Сегодня мы хотели бы поговорить с вами о такой теме, как «Игры и стратегии». Начнем с определений «Правильной игры» и «Выигрышной стратегии», потому что именно они лежат в основе всей темы.
Правильная игра
Существует тип задач об играх, то есть взаимодействиях игроков по определённым правилам с целью достижения наилучшего для себя результата — как правило, выигрыша. В этих задачах под «правильной игрой» понимаются такие действия игроков, когда каждый действует самым наилучшим для себя образом. Чтобы решить такую задачу, необходимо понять, кто имеет возможность выиграть независимо от действий соперника, и предложить выигрышную стратегию для этого игрока. Разумеется, с обоснованием, почему она всегда гарантирует победу.
Выигрышная стратегия
Многие простейшие игры имеют определенную закономерность и секрет выигрыша (выигрышную стратегию). В таких играх выигрышная стратегия зависит:
• от правил (условий) игры;
• от того, ходит игрок первым или вторым
В данной статье мы с вами разберем два основных типа игр: игры — шутки и игры с симметричной стратегией.
Игры – шутки
Шутками в математике принято называть такие игры, в которых нет никакой выигрышной стратегии. В подобных играх всегда побеждает конкретный игрок, вне зависимости от того, как играет он или его противник. Разберем на примере нескольких задач.
Задача 1.
Шоколадка представляет собой прямоугольник 5×8, разделённый углублениями на 40 квадратиков. Двое по очереди разламывают её на части по углублениям: за один ход можно разломить любой из кусков (больший одного квадратика) на два. Кто не может сделать хода, проигрывает. Кто победит при правильной игре?
Для решения данной задачи нужно понять, когда закончится данная игра. Она завершится, когда все куски будут разломаны. Нетрудно понять, что количество кусков, которое получится при разламывании шоколадки, никак не зависит от того, как ее ломать. Оно всегда равно 40. Также заметим, что каждый ход количество кусочков шоколадки увеличивается на один. Соответственно, чтобы количество кусочков стало 40, необходимо 39 ходов (изначально шоколадка одна, поэтому отсчет ведем с 1). А нечетные по номеру ходы всегда делает первый. Поэтому в данной задаче побеждает начинающий игрок.
Еще одна игра – шутка.
Задача 2.
Двое игроков пишут двадцатизначное число слева направо, по очереди дописывая по одной цифре. Первый игрок выигрывает, если полученное число не делится на 7, второй — если делится. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
В этой задаче, как и в предыдущей, нет никакой выигрышной стратегии. Давайте поймем, что среди любых десяти чисел, идущих подряд, обязательно найдется число, кратное 7. Таким образом, будет число кратно 7 или нет, определяет только последняя цифра в нем. Поэтому первые девятнадцать чисел в числе из задачи могут быть абсолютно любыми. А второй может гарантировать себе стратегию выигрыша, записав последней цифрой такую, при которой полученное число будет делиться на 7.
Итак, с играми – шутками мы разобрались. А что же такое игры с симметричной стратегией? Рассмотрим несколько задач для примера.
Задача 3.
В ромашке 16 лепестков. Двое по очереди отрывают у нее 1 или два соседних лепестка. Кто выиграет при правильной игре и опишите его стратегию.
В данной задаче выигрывает второй игрок. Он может мысленно разбить лепестки цветка на пары, симметричные центру цветка. Далее его ходы будут заключаться в отрывании лепестков симметричным тем, которые оторвал первый в свой ход. Таким образом, если первый смог сделать ход, то и у второго будет возможность его сделать. Если же первый не может ходить, то второй уже выиграл.
Но не всегда симметрия в играх представлена в чистом виде. Порой нужно сделать некоторый первый ход, который позволит свести игру к симметричной стратегии.
Задача 4.
На столе есть две кучки камней. В одной из них 10 камней, а в другой 7. Двое по очереди берут любое число камней из одной любой кучки. Выигрывает тот, кто забирает последний камень со стола. Кто выиграет при правильной игре.
В данном случае выиграет первый. Ему нужно первым ходом из большей кучки забрать 3 камня. Таким действием он уравнивает количество камней в обоих кучках. Далее он может полностью дублировать ходы второго игрока из другой кучки. Таким образом, он гарантирует себе победу.
Задача 5.
Дан 5000-угольник. Двое играют в следующую игру. За один ход около вершины без числа можно написать «+1» или «-1». Когда все вершины оказываются помеченными числами, на каждой грани записывается результат умножения чисел на ее концах. Полученные произведения складывают и смотрят на результат. Если он положителен, то выигрывает первый игрок. Если нет, то второй. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию и как он должен играть?
Будем считать, что если на концах одной грани стоят числа одного знака, то это дает балл первому игроку. Если же два числа разного знака, то второму. Так как количество вершин фигуры четно, то второй может их разбить на пары соседних (на рисунке такие пары выделены красными овалами) и в каждой паре играть противоположно первому. Это позволит ему набрать хотя бы 2500 баллов (5000/2). Эта стратегия приносит ему победу, так как первый не сможет набрать количество очков большее, чем 2500.
