Начиная с определений импульса и объяснения законов сохранения, в статье показывается способ решения ряда задач, в которых важно только начальное и конечное состояние (но, например, ничего нельзя сказать про время движения), в частности, задач на столкновение тел.
Введение
С помощью законов сохранения многие механические задачи решаются намного проще, чем при использовании динамических уравнений движений. С другой стороны, законами сохранения можно пользоваться только в тех случаях, когда необходимо, зная начальное состояние тела, найти конечное. При данном описании системы невозможно узнать время движения тела и все промежуточные состояния.
Для лучшего понимания темы различных соударений давайте еще раз повторим теорию по законам сохранения в механике.
Самыми распространенными законами сохранения является закон сохранения импульса и энергии.
Импульс
Определение. Импульсом p тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы m на скорость (здесь и далее жирным шрифтом выделены векторные величины).
p = mv.
Изменение импульса можно представить через второй закон Ньютона:
Δp = mΔv = FΔt
Если рассмотреть систему материальных точек, которые движутся с разными скоростями, то импульс задается следующим выражением:
p = m₁v₁+ m₂v₂ + …
Закон сохранения импульса
При отсутствии внешних сил импульс системы материальных точек сохраняется.
Замечание 1. Отсутствие внешних сил означает, что система замкнута.
Замечание 2. Часто в задачах есть внешние силы, но при этом законом сохранения импульса в каком-то виде пользоваться можно.
- Внешние силы есть, но они взаимно скомпенсированы (например сила тяжести и сила нормальной реакции опоры при движении по гладкой поверхности).
- Внешние силы не имеют проекции на какую-то заданную ось (например, ось ОX), тогда импульс может сохраняться вдоль этого направления.
- Если в некоторый момент времени внутренние силы много больше внешних, тогда импульс системы сохраняется (например, разрыв снаряда)
Так как задачи только на закон сохранения достаточно однообразные, то рассмотрим и закон сохранения энергии.
Работа и энергия
Любая механическая система характеризуется скалярной величиной E — энергией, которая однозначно определяет состояние системы. Зная энергию системы в двух состояниях, можно найти работу внешних сил, совершенную над системой:
ΔE = E₂ – E₁ = A.
Механическая работа
Определение. Если на тело, движущееся по прямой, действует постоянная сила F, то механической работой A этой силы на перемещение s называется скалярное произведение
A = (F, s) = |F||s| · cos(α) = Fs · cos(α),
где α — угол между векторами F и s.
Определение. Средняя мощность <P> силы F — это отношение работы А, совершенной силой F за время t, к интервалу времени t.
<P> = A / t.
Мощность также можно переписать так: <P> = Fv · cos(α).
Консервативные и диссипативные силы
Определение.Консервативные силы (потенциальные силы) —это силы, работа которых при перемещении из состояния 1 в состояние 2 не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положения точек 1 и 2.
Примеры.Работа силы тяжести или электростатических сил не зависит от траектории, следовательно, это консервативные силы.
К диссипативным силам относятся различные виды силы трения.
Замечание. Работа диссипативных сил всегда отрицательна. Следовательно, они уменьшают механическую энергию тела, переводя ее в тепло.
Кинетическая и потенциальная энергия
Определение. Кинетическая энергия тела равна произведению массы тела на квадрат скорости, деленное на два:
Eкин = mv² / 2.
Так как работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения, то для нее можно определить потенциальную энергию.
Потенциальная энергия для силы тяжести определяется следующим выражением:
Eпот = mgh.
Замечание. Для силы тяжести можно легко вывести потенциальную энергию, зная работу силы притяжения.
Другие примеры.Зная силу растяжения или сжатия пружины, легко посчитать потенциальную энергию сжатой (растянутой) пружины:
Eпот = k(x₂ – x₁)² / 2.
Закон сохранения и изменения энергии
Формулировка. Механическая энергия в замкнутой системе сохраняется при отсутствии диссипативных сил:
ΔE = 0
Замечание 1. Механической энергией называется сумма потенциальной и кинетической энергии.
E = Eкин + Епот.
Замечание 2.При наличии консервативных сил может меняться скорость тела (системы тел) и их общая кинетическая энергия, но это будет происходить за счет перехода кинетической энергии в потенциальную.
Формулировка. Изменение механической энергии под действием внешних и внутренних неконсервативных сил равно суммарной работе этих сил А:
ΔE = A.
Теорема об изменении кинетической энергии
Формулировка. Работа всех сил (консервативных и диссипативных) равна изменению кинетической энергии системы.
∑A = ΔEкин.
Замечание. С помощью этой теоремы легко решать многие задачи. Например, рассмотрим задачу о нахождении тормозного пути автомобиля, движущегося со скоростью v = 60 км/ч по дороге с коэффициетом трения μ = 0,5.
Работа силы трения:
A = –μN = –μmgS,
где N — сила нормальной реакции, S — тормозной путь автомобиля.
Изменение кинетической энергии:
ΔE = –mv² / 2.
По теореме о изменении кинетической энергии:
–mv² / 2 = –μmgS.
S = v² / 2gμ = 29 м
Замечание.Скорость необходимо перевести в СИ.
Соударения
Определение. Центральный удар — это соударение 2 тел , при котором скорости каждого из тел направлены вдоль линии, соединяющей центры обоих тел.
Замечание. Если один из шаров покоится, то скорость второго тела должна быть направлена вдоль линии, соединяющей центры тел.
При решении задач на столкновение двух и более тел надо привыкнуть к следующим формулировкам:
- Абсолютно упругий удар (упругий удар) — это тип соударения, при котором выполняется закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Часто этот тип соударения применим к железным шарикам.
- Неупругий удар — это удар, при котором выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии (так как теряется часть энергии при ударе).
- Абсолютно неупругий удар — это удар, при котором два тела продолжают двигаться как единое целое. При этом столкновении выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии.
Замечание. Как мы видим, для решения задач нужно сначала записать соответствующие законы сохранения энергии и импульса или изменения энергии. Далее необходимо решить получившуюся систему уравнений.
Задача 1
Железный шар массы m = 500 г движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с и сталкивается с неподвижным восковым шаром, имеющим массу М = 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе.
Решение. В этой задаче удар абсолютно неупругий, поэтому выполняется закон сохранения импульса (ЗСИ) и изменения энергии.
Запишем ЗСИ на ось OX:
mv = (m + M)V. (1)
Для того, чтобы найти выделившуюся энергию при соударении, необходимо записать закон изменения энергии (ЗИЭ)
ΔE = mv² / 2 — (m + M)V² / 2. (2)
Далее остается только математическая часть задачи — решить систему уравнений (1) и (2). Из (1) найдем V:
V = mv / (M + m).
Подставив в (2), получим:
Замечание. Такую задачу невозможно решить для неупругого удара, при котором тела не слипаются друг с другом, так как нам будет неизвестны скорости двух разлетевшихся тел.
Список литературы
- Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.
- Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.