Автор: Виктория Андрианова, менеджер кафедры математики АПО.
Одна из моих учениц обучается в классе «Математическая вертикаль». Рассказала недавно, что начали изучать тригонометрию. Начало 9 класса и сразу тригонометрия. Так еще и на уроке геометрии. Сначала не поняла, начала разбираться в программе. И… мне захотелось этим поделиться.
Как показал опрос подписчиков нашей группы «Олимпиады по математике», большинству тригонометрические функции либо выводили через окружность единичного радиуса, либо вообще не выводили.
Я хочу показать достаточно простой и красивый способ их вывода через геометрию.
Классическое доказательство
Не берусь судить за все школы, но мне в 9 классе, как и большинству, все показывали через окружность с радиусом 1. Давайте сначала разберем это доказательство.
Косинус разности и косинус суммы
Чтобы вывести формулу косинуса суммы, отметим углы a и b так, как показано на рисунке ниже.
![Углы a и b на единичной окружности](https://sun9-34.userapi.com/impg/pX7-TtuRPsKG8ZJbSwxT2517eTO461XywH9FzA/0qASYBXT0u0.jpg?size=599x395&quality=96&sign=3a46e3053fa19b20cb982a7d3b09f411&type=album)
Из определений синуса и косинуса узнаем координаты точек А и В. Тогда вектор ОА равен (cos a, sin a), а ОВ равен (cos b, sin b). Также известно, что длины этих векторов равны 1. Давайте запишем скалярное произведение этих вектором двумя различными способами. Напомню необходимые формулы.
![Скалярное произведение](https://sun9-42.userapi.com/impg/WMUJudgTVgyDWVhbQ83KAfaT9_nBrSqbVPxokg/602Qgw8TAS4.jpg?size=807x196&quality=96&sign=b9391645765825046244e10677a3a42e&type=album)
Тогда |OA|*|OB|*cos(a-b) = cos a * cos b + sin a * sin b. Но |ОА| = 1 и |ОВ| = 1.
Следовательно, cos(a-b) = cos a * cos b + sin a * sin b.
Формула для косинуса суммы доказывается аналогичным образом.
cos(a+b) = cos a * cos b — sin a * sin b.
Синус разности и синус суммы
Формулы синусов доказываются, когда мы уже вывели формулы для косинусов. Нужно только воспользоваться формулой приведения.
![Синус разности](https://sun9-54.userapi.com/impg/EvJOngud8gJVt5Aj1CH6cJgbWhsJJA9K183KEA/lvoeMq4_-PM.jpg?size=807x224&quality=96&sign=37ff4ad1a21ee83eaf97c0ed84e06595&type=album)
Формула синуса суммы доказывается подобным образом.
![Синус суммы](https://sun9-73.userapi.com/impg/dJ7Af0v7um9wX_FbgFHdVO3bLKEV6R5CTxCXNg/Q7gIOOmXhfI.jpg?size=807x219&quality=96&sign=d4b2e582a5d8cdbe1f70b4ecfdb0c0dd&type=album)
Доказательство через геометрию
Для начала давайте разберемся, что если у прямоугольного треугольника гипотенуза равна 1, то его катеты будут равны косинусу и синусу соответствующего угла.
![Прямоугольный треугольник с гипотенузой 1](https://sun9-36.userapi.com/impg/AMhGQN4OOlupZo9ZYgmky9ajdAKb-liuE71Icg/QNl3jmXXp7c.jpg?size=807x516&quality=96&sign=bf60bf372193c5644005fa66c1d4a9a0&type=album)
Отсюда легко вывести основное тригонометрическое тождество. Достаточно записать теорему Пифагора для данного треугольника.
![Основное тригонометрическое тождество](https://sun9-86.userapi.com/impg/Pc0J7zrvLcNn-k8N2GIVnDXNTEfAAV1xZWOmEg/7KK202VWmYg.jpg?size=634x202&quality=96&sign=4fecd6cc830c63de247b3c7fd88b2f28&type=album)
Косинус суммы
Когда мы разобрались со сторонами прямоугольного треугольника с единичной гипотенузой, выведем формулу косинуса суммы. Будем пользоваться следующей картинкой
![О красоте тригонометрических формул, изображение №7](https://sun9-14.userapi.com/impg/ly67_b_UD5aS-oCX54T99yjj8jQzQOPBic62Ww/sLjhsQUDN_g.jpg?size=779x807&quality=96&sign=242e4448c3310de5ee59a08324219dd4&type=album)
Рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ. В нем гипотенуза равна 1. Тогда длина отрезка АН является искомым cos (a+b). АН найдем путем вычитания из длины отрезка AD отрезок HD.
АС = cos (a) из треугольника АВС. Теперь мы можем найти АD из прямоугольного треугольника ACD. АD катет, прилежащий к углу b. Поэтому AD = AC * cos (b) = cos (a) * cos (b).
Заметим далее, что HD = BE (т.к. HDEB прямоугольник). ВС = sin (a) (из треугольника АВС). Тогда ВЕ = ВС * sin (b) = sin (a) * sin (b). НD = sin (a) * sin (b).
Отсюда искомый АН = cos (a+b) = cos (a) * cos (b) — sin (a) * sin (b).
Чтобы вывести формулу для косинуса разности, достаточно вместо угла b подставить угол -b.
cos (a-b) = cos (a) * cos (b) — sin (a) * sin (-b) = cos (a) * cos (b) +sin (a) * sin (b).
Синус суммы
Теперь выведем формулу синуса суммы при помощи той же картинки.
![О красоте тригонометрических формул, изображение №8](https://sun9-14.userapi.com/impg/ly67_b_UD5aS-oCX54T99yjj8jQzQOPBic62Ww/sLjhsQUDN_g.jpg?size=779x807&quality=96&sign=242e4448c3310de5ee59a08324219dd4&type=album)
Синусом угла a+b будет отрезок ВН. Найдем его как сумму ЕС и CD.
ЕС = ВС * cos b. ВС = sin a. Тогда ЕС = sin (a) * cos (b).
CD = AC * sin b. AC = cos a. Отсюда CD = sin (b) * cos (a).
Наконец выразим ВН. ВН = sin (a+b) = sin (a) * cos (b) + sin (b) * cos (a).
Ну, а чтобы вывести синус разности, опять подставим в уже имеющуюся формулу угол -b.
sin (a-b) = sin (a) * cos (-b) + sin (-b) * cos (a) = sin (a) * cos (b) -sin (b) * cos (a).
Синус и косинус двойного угла
Конечно, зная формулы косинуса и синуса суммы, можно выразить формулы и для двойных углов. Но я предлагаю вам воспользоваться следующими картинками и вывести их самостоятельно.
![Вспомогательный рисунок для синуса двойного угла](https://sun9-22.userapi.com/impg/YxM3gZo6leGbbgjTkU1R-5tk80JMdQ3g1WYl6Q/98qr-6y1iJs.jpg?size=746x807&quality=96&sign=0084d4e327aec2d49d76cfad572e7928&type=album)
![Вспомогательный рисунок для косинуса двойного угла](https://sun9-80.userapi.com/impg/JH8YBKwxhoqHTrANuzNrZPnWbB3DT4K1hPobhQ/z2DetrOQ2xQ.jpg?size=743x807&quality=96&sign=f52ae6ab34024478719375c851e4a816&type=album)
Хочу заметить, что треугольники АВС в обоих случаях равны.