Статья содержит базовое определение потока напряженности, теорему Остроградского — Гаусса вместе с доказательством. Как всегда, теория закрепляется на практике с помощью задач.
Поток вектора напряжённости электрического поля. Теорема Остроградского — Гаусса.
Определение. Потоком вектора напряженности Ф электрического поля через площадку S называется скалярная физическая величина, равная произведению площади S на нормальную составляющую напряжённости электрического поля E⏊.
, где n — вектор нормали к поверхности S, α — угол между нормалью n и вектором напряжённости E.
Теорема (Остроградского — Гаусса). Поток вектора напряжённости электрического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведённую в поле, пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности:
Доказательство. Рассмотрим поток вектора напряжённости через площадку ΔS (рис. 3.1).
С учетом напряжённости поля точечного заряда:
Как известно, телесный угол Ω по определению равен:
, где S — площадь, на которую опирается телесный угол, а r — расстояние до центра.
Применив это к нашему случаю, можно записать
Полный поток через сферу найдём, просуммировав все телесные углы. Так как полный телесный угол Ω = 4π, то получим
Так как поток ΔФ не зависит от положения заряда q, то получаем выражение, которое называется теоремой Остроградского — Гаусса.
С помощью теоремы Остроградского — Гаусса можно вычислять поля для некоторых симметричных случаев, в которых напряжённость поля одинакова во всех частях фигуры.
Пример 1 (Поле равномерно заряженной сферы). Окружим сферу радиуса R замкнутой поверхностью радиуса r > R (рис. 3.2).
Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса и определением потока, получим:
Поле сферы совпадает с полем точечного заряда за пределами сферы и равно нулю внутри сферы (так как все заряды находятся на поверхности).
Пример 2 (Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностным зарядом σ). Так как плоскость бесконечная, то во всех точках вектор E одинаков и направлен перпендикулярно поверхности. Густота линий (следовательно, и E тоже) не зависит от расстояния до плоскости — поле однородно.
Для нахождения E рассмотрим сферу радиуса R. Вне сферы поле равно 0, а внутри
Рассмотрим поле на расстояние r = R + x, x << R. Это поле равно E = σ / ε₀ и создается близлежащим к сфере малым участком (поле Eпл) и полем E₁, создаваемым остальными участками сферы. Участок должен быть настолько малым, чтобы его можно было считать плоским. С другой стороны, характерные размеры этого участка должны быть много больше расстояния x (чтобы этот малый плоский участок можно было считать бесконечной плоскостью). Другими словами, должно выполняться следующее соотношение:
где S — площадь малого участка сферы.
По разные стороны от поверхности поле E₁ одно и тоже, а поле Eпл меняет знак (рис. 3.3).
Следовательно, можно составить систему уравнений:
, из которой находим
Пример 3 (Поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра радиуса R).
Окружим цилиндр замкнутой поверхностью в виде такого же цилиндра радиуса r > R (рис. 3.4).
Для удобства выберем некоторый участок длины L и заряда q и найдём для него поток двумя способами:
, где τ —линейная плотность заряженного цилиндра. Внутри цилиндра поля нет!
Замечание.Внутри всех проводящих замкнутых фигур поля нет! Это следует из того, что все заряды проводящих фигур сосредоточены на поверхности. Если представить, что внутри проводящего тела появятся поля, то должен потечь и ток, но этого не наблюдается в статически заряженных проводящих телах.
Пример 4 (Поле однородно заряженного диэлектрического шара радиуса R с зарядом q). Если выбрать контур радиуса r ≥ R, то решение дословно повторяет пример 1.
При r < R
, где q₁ — заряд, ограниченный замкнутым шаром радиуса r. Для нахождения q₁ найдём сначала объёмную плотность заряда ρ:
А затем найдём заряд q₁:
Подставив соответствующие выражение в (3.1), получим
В итоге получим:
Замечание. Простой проверкой убеждаемся, что при r = R оба выражения приводят к одному и тому же результату, что показывает, что функция E(r) в данном случае непрерывна.
Примеры решения задач
Задача 3.1. Воздух при напряженности более чем E₀ = 3 · 10⁶ В/м перестает быть хорошим диэлектриком и может проводить электрический ток. Найти, какой максимальный заряд можно поместить на металлический шар радиуса R = 1 м.
Решение. Максимальная напряжённость будет достигаться на поверхности шара, поэтому она не должна превышать заданного значения E₀.
Как видно из задачи, заряд 1 Кл — это очень большой заряд, и так сильно зарядить тела привычных размеров невозможно!
Задача 3.2. Найти распределение напряжённости в заряженной пластине толщиной h с объёмной плотностью заряда ρ. Какое максимальное значение напряжённости поля будет достигнуто, если соединить две пластины вместе (рис. 3.5)?
Решение. Сначала разберёмся, как в каждой толстой пластине зависит напряжённость электрического поля от x, где x — расстояние от середины пластины.
Для этого окружим часть пластины замкнутым контуром толщиной 2x, проходящим через центр пластины.
При x < h/2:
Тогда при x > h/2
Тогда, если соединить две пластины вместе, получим:
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Напряжённость поля до бесконечно проводящей заряженной плоскости равна E₁, а после пластины — E₂. Найти поверхностную плотность заряда на пластине. Считать, что поле в обоих случаях направлено перпендикулярно заряженной пластине.
Задача 2. Две пересекающиеся под углом α и заряженные поверхностной плотностью заряда σ бесконечные пластины делят пространство на четыре области. Найти напряжённость в каждой из областей.
Список литературы
- Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.
- Задачи по физике / Под ред. Савченко О. Я. Новосибирск, 1999.
- Козел С. М., Слободянин В. П. Всероссийские олимпиады по физике. 1992–2001. М., 2002.
- Савченко Н. Е. Решение задач по физике. М., 2011.
- Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.