В статье подробно, начиная с основ и базовых определений, рассказано о движении тела брошенного под углом к горизонту. Здесь вы найдете формулы параметров движения: общее время, дальность полета, максимальная высота. Также в конце приложены примеры задач с решениями.

Определение. Баллистическое движение — это движение некоторого тела в поле тяжести Земли при условии, что тело имеет вертикальную и горизонтальную проекции скорости.

Вначале вспомним основные формулы для равноускоренного движения.

Изменение скорости с течением времени задаётся соотношением

vₓ = v₀ₓ + at,

где vₓ — конечная проекция скорости, v₀ₓ — начальная проекция скорости, aₓ — проекция ускорения тела.

Изменение координаты x во времени можно найти, используя следующее соотношение:

x = x₀ + v₀ₓt + at² / 2,

где x — конечная координата тела, x₀ — начальная координата, v₀ₓ — начальная проекция скорости тела вдоль оси OXaₓ — проекция ускорения тела.

Рис. 1
Рис. 1

Замечание 1. Перемещением тела за время t называется величина Sₓ = x – x₀.

Замечание 2. Так как эти выражения справедливы для проекций, то их можно записать и в векторном виде.

Баллистическое движение — это случай равноускоренного движения (с постоянным ускорением свободного падения g). Любое тело, брошенное под углом α к горизонту, имеет некоторую вертикальную и горизонтальную проекции скорости (рис. 1).

Далее движение необходимо разбить на два участка:

  1. Горизонтальное
  2. Вертикальное

По горизонтали тело движется с одинаковой скоростью (обычно пренебрегаем силами различного трения):

v v₀cos(α)

А по вертикали это обычное движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью:

v₂ = v₀sin(α)

Общее время движения

Разобьём траекторию на два участка. Первый — участок, на котором тело продолжает подниматься, а второй — участок, где тело спускается. Обозначим t₁ время подъёма тела (от нуля до максимальной высоты подъема), t₂ — время спуска тела.

Из уравнения движения:

v₀sin(α) – gt₁ = 0

(так как конечная проекция скорости в верхней точке траектории равна нулю),

t₁ = v₀sin(α) / g.

Найдём время спуска:

–gt₂ = –v₀sin(α),

(т. к. конечная скорость тела будет такая же, как и начальная),

t₂ = v₀sin(α) / g.

Общее время движения:

t = t₁ + t₂ = 2v₀sin(α) / g.

Замечание.Время спуска и время подъёма тела одинаковые. Это связано с тем, что движение симметрично.

Дальность полета

Так как по горизонтали (вдоль оси ОХ) движение тела равномерное, то, зная общее время движения, найдём дальность полета L:

L = tv₁ = (2v₀sin(α) / g) · v₀cos(α) = 2v₀²sin(α)cos(α) / g.

Замечание. Используя формулу из тригонометрии

2sin(α)cos(α) = sin(2α),

получим:

L = 2v₀²sin(2α) / g.

Следовательно, максимальная дальность полета тела будет при броске под углом 45° к горизонту (так как sin(90°) = 1).

Максимальная высота подъёма тела

Рассмотрим движение тела в проекции на ось OY:

= v₀sin(α)t₁ – gt₁² / 2.

После подставления времени подъёма получим

H = v₀²sin²(α) / (2g).

Давайте теперь решим некоторые задачи.

Задачи

Задача 1. Пуля, летящая горизонтально со скоростью v = 500 м/с, пробивает первый листок бумаги. Найти, на каком расстоянии S находится второй листок бумаги, если известно, что его пуля пробила на h = 20 см ниже, чем первый.

Решение. Найдём, за какое время пуля прошла расстояние между листами. Нам известно, что за это же время она опустилась на высоту h = 20 см. Тогда:

h = gt² / 2,

t = √(2h/g).

Теперь, зная время движения пули между листами, найдём расстояние, которое прошла пуля за это время:

S = tv = v · √(2h/g) = 100 м.

Ответ: S = 100 м.

Задача 2. Школьник может бросить мяч в спортивном зале с максимальной скоростью v = 25 м/с. Пренебрегая силами сопротивления воздуха, найти максимальную дальность полета мяча в спортивном зале, если высота зала равна h = 4 м. Считать, что мяч не ударяется о потолок.

Решение. Пусть мальчик бросил мяч под некоторым углом α к горизонту. Тогда дальность полета мяча равна:

L = 2v₀²sin(α)cos(α) / g.

Как обсуждалось выше, тело имеет максимальную дальность полета, если его бросить под углом α = 45° к горизонту. Но в данной задаче возможно, что при таком угле мяч ударится о потолок. Проверим, какова максимальная высота подъёма мяча при условии, что угол равен α = 45°.

H = v₀²sin²(α) / (2g) = 16 м.

Следовательно, угол, под которым мальчик бросит мяч, будет значительно меньше. Найдём максимальный угол, при котором мяч не столкнется с потолком. Этот угол будет соответствовать предельному случаю, когда мяч побывает на высоте h = 4 м.

h = v₀²sin²(α) / (2g) => sin²(α) = 2gh / v₀².

Из основного тригонометрического тождества

sin²(α) + cos²(α) = 1

найдём cos²(α):

cos²(α) = 1 – 2gh / v₀².

Подставив все выражения в дальность полета L, получим:

L = 2√(2gh(v₀² – 2gh)) / g = 42 м.

Ответ: L = 42 м.

Замечание. Если в задаче не приведены числовые значения (задача в общем виде), то необходимо записать 2 ответа. Первый ответ при условии высокого потолка, при h > H —

L = 2v₀²sin(α)cos(α) / g, α = 45°.

И при h < получаем ответ

L = 2√(2gh(v₀² – 2gh)) / g.

Список литературы

  1. Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.
  2. Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.

Автор: Роман Федоренко