Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы

Подробное введение в конденсаторы, которое начинается с емкости уединенного проводника (с базовыми свойствами). Затем рассматриваются несколько типов конденсаторов: плоский, цилиндрический и сферический, для них подсчитаны емкости параллельных и последовательных соединений. Статья заканчивается изучением энергии конденсаторов и вопросами для самостоятельной работы.

Определение. Ёмкостью уединенного проводника называют физическую величину, определённую соотношением

где q — заряд проводника, ϕ — его потенциал.

Пример.

Найдём емкость шара радиуса R в вакууме. Как известно, потенциал шара равен

Из формулы (1) найдем ёмкость шара:

Замечание 1. Ёмкость проводника не зависит ни от потенциала, ни от заряда. Только от геометрических размеров тела.

Замечание 2. Все формулы в этом разделе, кроме отдельно оговоренных случаев, также будут записаны с учётом того, что все проводники находятся в вакууме.

Емкость измеряется в фарадах: [C] = Фарад.

Конденсаторы

Определение. Конденсатором называют систему двух изолированных друг от друга проводников (обкладки конденсатора). Полный заряд конденсатора равен нулю. Один проводник содержит положительный заряд +q, другой отрицательный –q; тогда между ними возникает разность потенциалов:

Ёмкость конденсатора можно найти по формуле (5.1). Только для конденсаторов потенциал проводника ϕ заменяется разностью потенциалов на обкладках.

Обычно в школьном курсе рассматривают три типа конденсаторов: плоский, цилиндрический, сферический.

Плоский конденсатор

Под моделью плоского конденсатора подразумевают две пластины, находящиеся очень близко друг к другу:

где S — площадь пластины (обкладки конденсатора), d — расстояние между пластинами (рисунок 5.1). Обозначения в цепях для всех конденсаторов также представлены на рисунке 5.1. В этой модели мы можем пренебрегать краевыми эффектами и считать поле в конденсаторе от двух бесконечно больших равномерно заряженных пластин.

Каждая пластина создает поле:

Но вторая пластина создает такое же поле. Тогда поле в плоском конденсаторе можно найти по формуле

где σ — поверхностная плотность заряда пластины конденсатора.

Замечание. Поле внутри плоского конденсатора однородно.

Тогда разность потенциалов между пластинами конденсаторов равна

Из формулы (1) получим ёмкость плоского конденсатора:

Замечание. Если между пластинами конденсатора поместить диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то емкость будет равна

С учетом того, что ε > 1, получаем, что ёмкость конденсатора можно сильно увеличить, поместив диэлектрическую пластину с проницаемостью ε. Это свойство используют в технике для повышения емкости конденсаторов.

Цилиндрический конденсатор

В качестве цилиндрического конденсатора используют два цилиндра, у которых радиусы r и R (R > r) практически не отличаются друг от друга (R – r << r).

Напряжённость поля от цилиндра радиуса r и длины L:

Замечание. Поле внутри цилиндрического конденсатора неоднородно, поэтому для нахождения разности потенциалов придётся воспользоваться интегрированием.

Тогда получим разность потенциалов U для цилиндрического конденсатора:

По формуле (1) найдем ёмкость цилиндрического конденсатора:

Сферический конденсатор

В качестве сферического конденсатора (рисунок 5.3) используют две сферы, у которых радиусы r и R (R > r) практически не отличаются друг от друга (R – r << r).

Напряжённость поля в сфере радиуса r равна

Тогда получим разность потенциалов U для сферического конденсатора:

По формуле (1) найдём ёмкость сферического конденсатора:

Замечание. Ёмкости плоского, цилиндрического, сферического конденсатора зависят только от геометрического размера конденсаторов.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Для последовательного соединения (рисунок 5.4):

С учётом формулы (1) найдём напряжение U на отрезке АВ:

С другой стороны, напряжение U можно найти, зная общую ёмкость C_0 участка АВ:

Тогда, приравняв последние выражения, получим выражения для общей ёмкости при последовательном соединении конденсаторов.

При параллельном соединении (рисунок 5.5):

Общее напряжение U на участке АВ можно записать в виде

где C_0 — общая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов. Тогда выразим общую ёмкость через ёмкости каждого из конденсаторов:

Замечание. Формулы для вычисления общей ёмкости для последовательного и параллельного соединения конденсаторов противоположны аналогичным формулам для расчета сопротивления последовательного и параллельного соединения резисторов.

Энергия проводника и конденсатора

Формулу (4) из 4-го раздела можно переписать в виде

где φ_i — потенциал поля всех остальных зарядов в точке, где находится заряд q_i.

Так как все точки проводника имеют одинаковый потенциал ϕ, то энергию проводника можно найти по формуле

где q — заряд проводника.

Пример. Найти энергию заряженной сферы радиуса R.

Воспользовавшись формулой (5.2), получим:

Энергия конденсатора

Рассмотрим плоский конденсатор (очевидно, что это будет выполнено и для произвольного конденсатора). Положительно заряженная пластина имеет потенциал φ_1, а отрицательная заряженная пластина — потенциал φ_2. Записав формулу (2), получим энергию конденсатора:

Замечание. Получим эту же формулу для плоского конденсатора, подсчитав работу, которую надо затратить на раздвижение пластин конденсатора на расстояние d. Считаем, что поле внутри конденсатора однородно. Каждая пластина создает поле E_пл, которое притягивает к себе соседнюю пластину с силой F.

где E — напряженность поля внутри конденсатора, q — заряд конденсатора. Заметим, что F не зависит от расстояния d (это выполняется в приближении, что поле однородно, т. е. d считается малой величиной).

Тогда энергия W равна

Задачи для самостоятельной работы

1. Определить ёмкость шара радиуса r = 10 м, если он окружен диэлектриком проницаемостью 4 с наружным радиусом R = 15 м.
2. Два одинаковых шара имеют энергию поля, равную W_1 и W_2 соответственно. Найти количество теплоты, которое выделится при соединении шаров проволочкой. Считать, что шары находятся очень далеко друг от друга.
3. Уменьшится или увеличится энергия конденсатора, если вынуть из него диэлектрическую пластину? Рассмотреть два случая:

а) конденсатор подключен к источнику;

б) конденсатор отключён от источника.

5. Рассчитать силу притяжения между пластинами конденсатора (аналогично задаче 5.5), только при условии, что конденсатор заполнен диэлектрической пластиной с проницаемостью ε = 6.

Список литературы

1. Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. // М.: Физматлит, 2005.
2. Задачи по физике // под ред. О. Я. Савченко. 3-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 1999.
3. Козел С. М., Слободянин В. П. Всероссийские олимпиады по физике 1992–2001. // М.: Вербум-М, 2002.
4. Савченко Н. Е. Решение задач по физике. // М., 2011.
5. Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. // М., 2000.