Вычисление моментов времени и азимутов восхода и захода светил


Львов Кирилл
МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников. К таким задачам относятся преобразование координат из одной системы небесных координат в другую, расчёт долготы центрального меридиана планеты Солнечной системы, разметка солнечных часов и точное направление спутниковой антенны («тарелки») на нужный спутник для приёма каналов спутникового телевидения.

Мы обсудим, как рассчитывать моменты времени и азимуты восхода и захода светил в любой день года.

Сферический треугольник и формулы сферической тригонометрии.

Напомним три основных соотношения сферической тригонометрии (рис. 1)

  1. теорема косинусов:

косинус стороны равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.

2. формула пяти элементов:

   

Рис. 1. Сферический треугольник.

произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой стороне

3. теорема синусов:

отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная.

Параллактический треугольник и преобразование координат

Как известно, в сферической астрономии для описания положения тела на небесной сфере используется несколько систем небесных координат:

Рис. 2. Горизонтальная система координат.
Рис. 3. Первая экваториальная система координат.
Рис. 4. Вторая экваториальная система координат.
  1. Горизонтальная система. Положение тела задается высотой h и азимутом A. Система используется для определения направления на светило относительно земных предметов или с помощью угломерных инструментов, когда телескоп смонтирован на азимутальной установке.
  2. Первая экваториальная система. Положение тела задается склонением  и часовым углом t. Система используется преимущественно при определении точного времени – одной из основных задач практической астрономии, при наблюдениях на телескопе, смонтированном на экваториальной установке.
  3. Вторая экваториальная система. Положение тела задается склонением  и прямым восхождением . Система является общепринятой в астрометрии. В этой системе составляются каталоги положений звезд и других светил, а также звездные карты.

Поэтому важно уметь переходить от одних координат светила к другим. Для этой задачи нам понадобятся формулы сферической тригонометрии.

Параллактическим треугольником называется треугольник на небесной сфере, образованный пересечением небесного меридиана, вертикального круга и часового круга светила. Его вершинами являются полюс мира Р, зенит Z и светило М. Если светило М находится в западной половине небесной сферы (рис. 5), то сторона ZP (дуга небесного меридиана) равна , где   — широта места наблюдения, сторона ZM (дуга вертикального круга) равна зенитному расстоянию светила , сторона

Рис. 5. Параллактический треугольник. Светило в западной полусфере. Рис. 6. Параллактический треугольник. Светило в восточной полусфере.

РМ (дуга часового круга) равна полярному расстоянию светила p=90°- δ; угол PZM=180°- A, угол ZPM=t, т.е. часовому углу светила, угол PMZ = q называется параллактическим углом.

Если светило находится в восточной половине небесной сферы (рис. 6), то значения сторон параллактического треугольника те же, что и в случае пребывания светила в западной половине, но значения углов при вершинах Z и Р иные, а именно: угол PZM=180°- A, а ZPM=360°- t.

Вид параллактического треугольника для одного и того же светила зависит от широты места наблюдения и от момента наблюдения, т.е. от часового угла t.
Применяя формулы (1), (2), (3) сферической тригонометрии к параллактическому треугольнику (рис. 5) и считая исходными сторону РМ и угол t, получим: 

Формулы (4) служат для вычисления склонения светила и его часового угла t (а затем и прямого восхождения α=s-t) по известным его зенитному расстоянию z и азимуту A в момент звездного времени s. Звездное время для любой широты и местного времени можно найти в астрономическом справочнике (например, http://allcalc.ru/node/254). Иными словами, формулы (4) служат для перехода от горизонтальных координат светила к его экваториальным координатам.
Если исходными считать сторону ZM = z и угол PZM=180°-A, то основные формулы в применении к параллактическому треугольнику напишутся в следующем виде: 

Формулы (5) служат для вычисления зенитного расстояния z и азимута светила A (для любого момента звездного времени s и для любой широты ) по известному склонению светила и его часовому углу t=s-α. Иными словами, они служат для перехода от экваториальных координат светила к его горизонтальным координатам.
Кроме того, формулы (4) и (5) используются при вычислении моментов времени восхода и захода светил и их азимутов в эти моменты, а также при решении двух очень важных задач практической астрономии — определения географической широты места наблюдения и определения местного звездного времени s. 

Вычисление моментов времени и азимутов восхода и захода светил

Для вычисления моментов времени восхода и захода сначала надо вычислить часовые углы светил в это момент. Часовой угол светила определяется из первой формулы (5), а именно:

Если какая-нибудь точка небесного свода восходит или заходит, то она находится на горизонте и, следовательно, ее видимое зенитное расстояние z^’=90°. Ее истинное зенитное расстояние z в этот момент вследствие рефракции будет больше видимого на величину = 35′. Суточный параллакс понижает светило над горизонтом, т. е. увеличивает видимое зенитное расстояние z’ на величину горизонтального параллакса p= R/a, где R – радиус Земли, а – расстояние от Земли до светила.

Кроме того, для Солнца и Луны, имеющих заметные размеры, координаты относятся к центру их видимого диска, а восходом (или заходом) этих светил считается момент появления (пли исчезновения) на горизонте верхней точки края диска. Следовательно, истинное зенитное расстояние центра диска этих светил в момент восхода или захода будет больше зенитного расстояния верхней точки края диска на величину видимого углового радиуса R диска. У Солнца и Луны их видимые угловые радиусы приблизительно одинаковы и в среднем равны 16′.

Следовательно, истинное зенитное расстояние точки в момент ее восхода или захода равно:

Для звезд и планет можно пренебречь также и их видимыми радиусами и вычислять часовые углы восхода и захода по формуле:

Наконец, если пренебречь и рефракцией, то часовой угол восхода и захода вычисляется по формуле:

Каждое из приведенных уравнений дает два значения часового угла. Положительное значение соответствует заходу, отрицательное — восходу светила. Местное звездное время восхода и захода получается таким:

Затем можно вычислить моменты восхода и захода светила по местному среднему солнечному времени Tm или по поясному времени Tn=T0+nh (номер пояса выражен в часовой мере).

Если вычисляется восход и заход Солнца, то нет необходимости вычислять звездное время явлений, так как местное истинное солнечное время равно часовому углу Солнца, увеличенному на 12 часов. Тогда местное среднее время равно: 

где η – уравнение времени, которое берется, также как и прямое восхождение и склонение Солнца, из Астрономического Ежегодника.

Азимуты точек восхода и захода светил (без учета рефракции, параллакса и углового радиуса) получим, если в первой формуле (4) положим z=90°, тогда sin⁡ z=1,cos⁡ z=0 и 

По формуле (10) получаем два значения азимута: Азах = A и Aвосх = 360° – A. Первое значение является азимутом точки захода, второе — азимутом точки восхода светила.

Наконец, представим формулы (9) и (10) в виде: 

Так как косинус не может быть больше 1, то из этих формул следует, что восход и заход светила возможны только при условии: