Подробное введение в конденсаторы, которое начинается с емкости уединенного проводника (с базовыми свойствами). Затем рассматриваются несколько типов конденсаторов: плоский, цилиндрический и сферический, для них подсчитаны емкости параллельных и последовательных соединений. Статья заканчивается изучением энергии конденсаторов и вопросами для самостоятельной работы.
Определение. Ёмкостью уединенного проводника называют физическую величину, определённую соотношением
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №1](https://sun9-55.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168583/UN8VPzSv4Vs.jpg?size=807x63&quality=96&sign=a510a0d1050d60072dd3c56287edebf5&type=album)
где q — заряд проводника, ϕ — его потенциал.
Пример.
Найдём емкость шара радиуса R в вакууме. Как известно, потенциал шара равен
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №2](https://sun9-24.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16858c/MSkX7i0XXj0.jpg?size=807x137&quality=96&sign=6ff2da6762c659ee94abb96ddbc722fe&type=album)
Из формулы (1) найдем ёмкость шара:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №3](https://sun9-58.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168595/0lOVaz-MmEM.jpg?size=807x112&quality=96&sign=aa2c30b86b8732b2e950d0ed62ff1c81&type=album)
Замечание 1. Ёмкость проводника не зависит ни от потенциала, ни от заряда. Только от геометрических размеров тела.
Замечание 2. Все формулы в этом разделе, кроме отдельно оговоренных случаев, также будут записаны с учётом того, что все проводники находятся в вакууме.
Емкость измеряется в фарадах: [C] = Фарад.
Конденсаторы
Определение. Конденсатором называют систему двух изолированных друг от друга проводников (обкладки конденсатора). Полный заряд конденсатора равен нулю. Один проводник содержит положительный заряд +q, другой отрицательный –q; тогда между ними возникает разность потенциалов:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №4](https://sun9-20.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685a8/vja0vNHwcPo.jpg?size=807x76&quality=96&sign=3d4f89bd36b62149bde17870b6bc559d&type=album)
Ёмкость конденсатора можно найти по формуле (5.1). Только для конденсаторов потенциал проводника ϕ заменяется разностью потенциалов на обкладках.
Обычно в школьном курсе рассматривают три типа конденсаторов: плоский, цилиндрический, сферический.
Плоский конденсатор
Под моделью плоского конденсатора подразумевают две пластины, находящиеся очень близко друг к другу:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №5](https://sun9-31.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685af/kt11Ijni3f8.jpg?size=344x148&quality=96&sign=61c9a3a8aa9b1dc0a67d7dde609760a6&type=album)
где S — площадь пластины (обкладки конденсатора), d — расстояние между пластинами (рисунок 5.1). Обозначения в цепях для всех конденсаторов также представлены на рисунке 5.1. В этой модели мы можем пренебрегать краевыми эффектами и считать поле в конденсаторе от двух бесконечно больших равномерно заряженных пластин.
Каждая пластина создает поле:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №6](https://sun9-19.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685b7/o0nr0KJEBKs.jpg?size=734x196&quality=96&sign=ae3e8bf605d26ed33c3dcac7f9a0f74c&type=album)
Но вторая пластина создает такое же поле. Тогда поле в плоском конденсаторе можно найти по формуле
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №7](https://sun9-5.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685c1/qetBRsockNg.jpg?size=807x158&quality=96&sign=7e3da1696cd803f9595ab8b5e79cada3&type=album)
где σ — поверхностная плотность заряда пластины конденсатора.
Замечание. Поле внутри плоского конденсатора однородно.
Тогда разность потенциалов между пластинами конденсаторов равна
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №8](https://sun9-51.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685ca/5xgEHoHe2ZM.jpg?size=807x217&quality=96&sign=046d3111550d52943bfc8cd6a53cdd51&type=album)
Из формулы (1) получим ёмкость плоского конденсатора:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №9](https://sun9-75.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685dd/wsBl8BCC1so.jpg?size=807x189&quality=96&sign=e536df834e4ae3ad92eb4bbb1990783d&type=album)
Замечание. Если между пластинами конденсатора поместить диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то емкость будет равна
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №10](https://sun9-77.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685e4/BNcH4yi0Yzo.jpg?size=486x150&quality=96&sign=ecf5eecde153d017a2145b0c5cde47d9&type=album)
С учетом того, что ε > 1, получаем, что ёмкость конденсатора можно сильно увеличить, поместив диэлектрическую пластину с проницаемостью ε. Это свойство используют в технике для повышения емкости конденсаторов.
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №11](https://sun9-75.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685ee/tPCFsSkJ_6I.jpg?size=807x313&quality=96&sign=66007852e033291dc874fdbfdb1eb479&type=album)
Цилиндрический конденсатор
В качестве цилиндрического конденсатора используют два цилиндра, у которых радиусы r и R (R > r) практически не отличаются друг от друга (R – r << r).
Напряжённость поля от цилиндра радиуса r и длины L:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №12](https://sun9-17.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1685f6/LdSciBhgKXo.jpg?size=618x142&quality=96&sign=a1509d6b98795f8bc862422bb19d2411&type=album)
Замечание. Поле внутри цилиндрического конденсатора неоднородно, поэтому для нахождения разности потенциалов придётся воспользоваться интегрированием.
Тогда получим разность потенциалов U для цилиндрического конденсатора:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №13](https://sun9-72.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168600/gxgyFxzcRqU.jpg?size=807x139&quality=96&sign=0dd6ad510b2e8df3466cbfd9c81a8b3e&type=album)
По формуле (1) найдем ёмкость цилиндрического конденсатора:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №14](https://sun9-35.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168612/gx3bMSd_6SI.jpg?size=706x184&quality=96&sign=110dfb89ba6875d03ad7858d8135d8f9&type=album)
Сферический конденсатор
В качестве сферического конденсатора (рисунок 5.3) используют две сферы, у которых радиусы r и R (R > r) практически не отличаются друг от друга (R – r << r).
Напряжённость поля в сфере радиуса r равна
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №15](https://sun9-39.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16861b/nUxKvp2dD_I.jpg?size=807x182&quality=96&sign=9717692a971da991fcf0aa9f08310a7a&type=album)
Тогда получим разность потенциалов U для сферического конденсатора:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №16](https://sun9-5.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168625/-escASc7ekc.jpg?size=807x133&quality=96&sign=90e3ffdba4ce975da2d5f76ae5f34ecf&type=album)
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №17](https://sun9-11.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16862c/BTCkb2DMBqA.jpg?size=590x178&quality=96&sign=786fa4231cc2d8b507bcd99e31f328a7&type=album)
По формуле (1) найдём ёмкость сферического конденсатора:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №18](https://sun9-27.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168635/GYwiuwdM--g.jpg?size=807x263&quality=96&sign=11fca7cd12d104c76c8e67fe5c784335&type=album)
Замечание. Ёмкости плоского, цилиндрического, сферического конденсатора зависят только от геометрического размера конденсаторов.
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №19](https://sun9-58.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16863f/N5M-eEEg2gM.jpg?size=807x278&quality=96&sign=7187fbb9d32a57f542692b2e773d4ae3&type=album)
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов
Для последовательного соединения (рисунок 5.4):
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №20](https://sun9-53.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168646/5SSKlRXXMwI.jpg?size=456x154&quality=96&sign=fd902ef2a4b67a4f24d0c9e9b99c6c21&type=album)
С учётом формулы (1) найдём напряжение U на отрезке АВ:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №21](https://sun9-53.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16864f/cgOwf8O8xZs.jpg?size=807x166&quality=96&sign=7b042cc3a39439e2970e25a07251f78c&type=album)
С другой стороны, напряжение U можно найти, зная общую ёмкость C_0 участка АВ:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №22](https://sun9-8.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168657/TqmBD69Aops.jpg?size=806x144&quality=96&sign=f4c742986d56fe453908818c3b070059&type=album)
Тогда, приравняв последние выражения, получим выражения для общей ёмкости при последовательном соединении конденсаторов.
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №23](https://sun9-23.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168660/xMCXRkNNE98.jpg?size=807x199&quality=96&sign=d5797ec928a28d3c0262e52aa8fa6788&type=album)
При параллельном соединении (рисунок 5.5):
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №24](https://sun9-23.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168667/qXcDx9vjwZA.jpg?size=458x144&quality=96&sign=4b51d33b24275fb82a60ede2638f22b5&type=album)
Общее напряжение U на участке АВ можно записать в виде
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №25](https://sun9-39.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16866f/ar4Pe7-S7Es.jpg?size=672x176&quality=96&sign=bfa11af790ff33f01d2fbd13be4ad553&type=album)
где C_0 — общая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов. Тогда выразим общую ёмкость через ёмкости каждого из конденсаторов:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №26](https://sun9-58.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168677/h8xz36_ZO9U.jpg?size=796x316&quality=96&sign=794b1f9ed525ad239c2295feda3072e4&type=album)
Замечание. Формулы для вычисления общей ёмкости для последовательного и параллельного соединения конденсаторов противоположны аналогичным формулам для расчета сопротивления последовательного и параллельного соединения резисторов.
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №27](https://sun9-27.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168681/7mZjR3NB4yU.jpg?size=807x311&quality=96&sign=c9e2645f36d6d00b0c42d7114599fa1f&type=album)
Энергия проводника и конденсатора
Формулу (4) из 4-го раздела можно переписать в виде
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №28](https://sun9-73.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16868a/SZ0U__CcMwM.jpg?size=807x239&quality=96&sign=b57c42442ddcc9ac68daab57eebd9acc&type=album)
где φ_i — потенциал поля всех остальных зарядов в точке, где находится заряд q_i.
Так как все точки проводника имеют одинаковый потенциал ϕ, то энергию проводника можно найти по формуле
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №29](https://sun9-78.userapi.com/impf/c854320/v854320517/168693/AJZ9orwPnMU.jpg?size=807x137&quality=96&sign=88aacd3cdd7d6e32a9be4704adf05b19&type=album)
где q — заряд проводника.
Пример. Найти энергию заряженной сферы радиуса R.
Воспользовавшись формулой (5.2), получим:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №30](https://sun9-77.userapi.com/impf/c854320/v854320517/16869b/3-iP-PZsOsg.jpg?size=662x238&quality=96&sign=cb7e44d40676ec7db170388ed12615c4&type=album)
Энергия конденсатора
Рассмотрим плоский конденсатор (очевидно, что это будет выполнено и для произвольного конденсатора). Положительно заряженная пластина имеет потенциал φ_1, а отрицательная заряженная пластина — потенциал φ_2. Записав формулу (2), получим энергию конденсатора:
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №31](https://sun9-10.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1686a4/qR1se32eIKA.jpg?size=807x144&quality=96&sign=56555dec34cf0824182d0d565978a7bf&type=album)
Замечание. Получим эту же формулу для плоского конденсатора, подсчитав работу, которую надо затратить на раздвижение пластин конденсатора на расстояние d. Считаем, что поле внутри конденсатора однородно. Каждая пластина создает поле E_пл, которое притягивает к себе соседнюю пластину с силой F.
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №32](https://sun9-34.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1686ab/YM9wZtyMqxQ.jpg?size=558x172&quality=96&sign=a3158b85b68ff9e3666689e261d879a0&type=album)
где E — напряженность поля внутри конденсатора, q — заряд конденсатора. Заметим, что F не зависит от расстояния d (это выполняется в приближении, что поле однородно, т. е. d считается малой величиной).
Тогда энергия W равна
![Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы, изображение №33](https://sun9-57.userapi.com/impf/c854320/v854320517/1686b3/PVNUE4kYE9s.jpg?size=708x172&quality=96&sign=c3daab2a207b9dfb89607cbb3fe0813c&type=album)
Задачи для самостоятельной работы
- Определить ёмкость шара радиуса r = 10 м, если он окружен диэлектриком проницаемостью 4 с наружным радиусом R = 15 м.
- Два одинаковых шара имеют энергию поля, равную W_1 и W_2 соответственно. Найти количество теплоты, которое выделится при соединении шаров проволочкой. Считать, что шары находятся очень далеко друг от друга.
- Уменьшится или увеличится энергия конденсатора, если вынуть из него диэлектрическую пластину? Рассмотреть два случая:
а) конденсатор подключен к источнику;
б) конденсатор отключён от источника.
5. Рассчитать силу притяжения между пластинами конденсатора (аналогично задаче 5.5), только при условии, что конденсатор заполнен диэлектрической пластиной с проницаемостью ε = 6.
Список литературы
- Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. // М.: Физматлит, 2005.
- Задачи по физике // под ред. О. Я. Савченко. 3-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 1999.
- Козел С. М., Слободянин В. П. Всероссийские олимпиады по физике 1992–2001. // М.: Вербум-М, 2002.
- Савченко Н. Е. Решение задач по физике. // М., 2011.
- Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. // М., 2000.