В статье рассматривается модель идеального газа и типичные процессы, которые с ней производятся: изотермический, изобарный, изохорный. Основную часть статьи представляют собой задачи с решениями, а в конце есть домашние задания.

Введение

В первую очередь хочется поговорить про идеальный газ. Что же он из себя представляет и почему он идеален?

Идеальный газ — теоретическая математическая модель газа, в которой пренебрегают размерами частиц и не учитывают силы взаимодействия между ними, предполагая, что их средняя кинетическая энергия много больше энергии их взаимодействия. Считается, что столкновения частиц газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Существует модель классического идеального газа, свойства которого описываются законами классической физики, и модель квантового идеального газа, подчиняющегося законам квантовой механики. Обе модели идеального газа справедливы для реальных классических и квантовых газов при достаточно высоких температурах и разряжениях.

В реальных же газах при некоторых расчетах мы не можем пренебрегать вышеуказанными приближениями. Например, вы можете столкнуться с газом Ван-дер-Ваальса, в уравнении которого есть поправка на объем и давление.

Какими величинами можно охарактеризовать состояние идеального газа?

Считая, что нам известен химический состав газа и его масса, для описания его состояния мы можем воспользоваться такими параметрами, как объем V, занимаемый газом, давление Р, температура Т. Связь между этими параметрами идеальных газов отражают четыре основных закона: закон Бойля — Мариотта, закон Гей-Люссака, закон Шарля и закон Клапейрона — Менделеева. Пользуясь уравнениями, описывающими эти законы, можно решать практически любые задачи, в которых нас интересует физическое состояние идеального газа.

Среди различных газовых процессов можно выделить такие, в которых одна из величин (TP или V) поддерживается постоянной.

Изотерма

Изотермическими называются процессы, в которых температура постоянна: Т = const. Такие процессы, описывает закон Бойля — Мариотта:

PV₁ = PV₂,

где индексы 1 и 2 относятся к начальному и конечному состояниям газа.

Одним из основополагающих знаний про изопроцессы, в частности, для понимания темы и для решения задач, является вид графиков этих процессов в разных координатах.

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №1

Задача. Посредине узкой, запаянной с обоих концов горизонтальной трубки (рис. 2) находится столбик ртути длиной h = 25 см. Ртуть разделяет в трубке два столба воздуха длиной l₀ = 1 м каждый. Давление воздуха 76 см. рт. ст., температура остается постоянной. На какое расстояние х переместится столбик ртути, если трубку поставить вертикально?

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №2

Решение. Рассмотрим отдельно два столбика воздуха в стоящей вертикально трубке и применим закон Бойля — Мариотта к каждому из них (площадь сечения трубки S):

(1) PlS = P₁(l₀ + x)S,

(2) PlS = P₁(l₀ – x)S.

Из условия механического равновесия столбика ртути следует, что при вертикальном положении трубки давление в нижнем столбе воздуха равно

P₂ = P₁ + ρgh,

(ρ — плотность ртути). Подставив это значение P₂ в (2), получим квадратное уравнение, решив которое, найдем, что

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №3

(Отрицательное значение корня не имеет смысла).
Интересно отметить, что при вычислении неизвестного х нам не нужны сведения о плотности ртути ρ, а также о соотношениях между единицами давления. Дело в том, что по определению давление Р, которое создает 1 см. рт. ст., равно P = ρg · 1 см. Следовательно, P / ρg = 76 см без каких-либо дополнительных пересчетов.

Изобара

В изобарных процессах постоянно давление (P = const). Закон, описывающий этот процесс, называется законом Гей-Люсакка:

V₁ / T₁ = V₂ / T₂.

Графики при изобарном процессе:

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №4

Изохора

При изохорном процессах постоянным поддерживается объем газа (V = const), и закон, описывающий этот процесс, носит название закона Шарля:

P₁ / T₁ = P₂ / T₂.

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №5

Примеры

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №6

Рассмотрим теперь одну графическую задачу.

Задача. С идеальным газом происходит циклический процесс, график которого в координатах «давление-объем» приведен на рисунке (участок графика 2–3 — изотерма). Построить графики зависимости P(T) и V(T) для этого процесса.

Решение. Исследуем отдельно все участки процесса: 1–2, 2–3 и 3–1. Как видно из данного в условии графика, процесс 1–2 является изохорическим с ростом давления.

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №7

Поэтому на графиках P(T) и V(T) ему отвечают прямая, продолжение которой проходит через начало координат, и горизонтальная прямая соответственно, причем и давление, и температура в этом процессе растут (участки 1–2).

Процесс 2–3 является изотермическим (это говорится в условии) с ростом объема газа и убыванием давления. Поэтому на графиках P(T) и V(T) ему отвечают вертикальные прямые: убывающая на графике P(T) и растущая на графике V(T) (участки 2–3). Как следует из рисунка, процесс 3–1 является изобарическим, в нем объем газа убывает. Поэтому ему отвечают горизонтальная прямая на графике P(T) и прямая, продолжение которой проходит через начало координат, на графике V(T). Поскольку, совершив процесс 1–2–3–1, газ возвращается в первоначальное состояние, все графики должны быть замкнуты. Это значит, что соответствующие прямые должны попасть в начальную точку 1 (участки 3–1).

Рассмотрим еще несколько задач.

Задача. Определить температуру газа, находящегося в закрытом сосуде, если при нагревании газа на ΔT = 1 °С давление газа увеличивается на величину, составляющую α часть от первоначального давления (α = 0,004).

Решение. Так как объем сосуда в рассматриваемом процессе не меняется, то давление и температура газа в нем связаны законом Шарля. Из этого закона для начального и конечного состояния газа имеем:

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №8

Решая это уравнение, находим:

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №9

Задача. Во фляжке вместимостью 0,5 л находится 0,3 л воды. Турист пьет из неё воду, плотно прижав губы к горлышку так, что во фляжку не попадает наружный воздух. Сколько воды удастся выпить туристу, если он может понизить давление оставшегося во фляжке воздуха до 80 кПа.

Решение. Согласно условию задачи, исходный объем воздуха во фляжке V₁ = 0,2 л, а исходное давление равно атмосферному P₁ = 100 кПа. Если считать процесс поглощения воды туристам изотермическим, то, конечно, объем воздуха можно найти из закона Бойля-Мариотта:

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №10

Таким образом, объем воздуха во фляжке увеличится на 0,05 л = 50 см³ — именно такой объем воды и сможет выпить турист.

Из сказанного ясно, что параметры, определяющие состояние данной массы газа, неизменного химического состава (РV и Т) и связаны друг с другом. Если известны две величины, можно найти третью.

Уравнение, определяющее связь температуры, объема и давления, называют уравнением состояния газа, или, в честь открывших его ученых, уравнением Менделеева-Клапейрона. Подробнее о нем мы расскажем в следующей статье.

Задачи для самостоятельного решения

Задачи разделены на 3 уровня Л — легкий, С — средний, П — повышенный.

Задача 1. (Л). При увеличении давления в 1.5 раза объем газа уменьшился на 30 мл. Найти первоначальный объем газа. (90 мл)

Задача 2. (Л). Какой объем займет газ при температуре 77 ℃, если при температуре 27 ℃ его объем был 6л? (7 л)

Задача 3. (C). С идеальным газом происходит процесс, график которого в координатах «давление-объем» приведен на рисунке. Определить отношение максимальной и минимальной абсолютных температур газа в течение всего процесса. Все необходимые величины приведены на рисунке, k и n — известные числа. (T / T = nk)

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №11

Задача 4. (C). Построить эквивалентные графики в P(T) и V(T) координатах.

Законы идеальных газов. Изопроцессы, изображение №12

Задача 5. (П). Водяной паук Серебрянка строит в воде воздушный домик, перенося на лапках и брюшке пузырьки атмосферного воздуха и помещая их под купол паутины, прикрепленный концами к водяным растениям. Сколько рейсов надо сделать пауку, чтобы на глубине 50 см построить домик объемом 1 см³, если каждый раз он берет 5 мм³ воздуха под атмосферным давлением? (N = 210 раз)

А.Ю. Рудь

Список литературы

  1. Буховцев Б. Законы идеальных газов // Квант. №5. Квант. М., 1972.
  2. Гельфгат И.М. 1001 задача по физике с решениями. М., 1998.
  3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М., 1970.
  4. Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.